Як вирішувати нерівності?

Як вирішувати нерівності?

Стандартний метод вирішення цих нерівностей полягає в зведенні обох частин нерівності в потрібний ступінь: якщо в нерівність входить квадратний корінь, то в квадрат; входить корінь третього ступеня в куб і т. д. Однак, як було показано вище в правилі 4 перетворення нерівностей, зводити в квадрат, не порушуючи равносильности, можна тільки нерівність, у якого обидві частини ненегативні. При зведенні ж в квадрат нерівностей, частини яких мають різні знаки, можуть вийти нерівності, як рівносильні вихідному, так і нерівносильні йому. Простий приклад: 1 теж вірне нерівність.

Незважаючи на те, що 4 вже вірним не є. Покажемо, як отримати рівносильні системи для деяких часто зустрічаються типів нерівностей. ) 0, то ліва частина нерівності існує і неотрицательна. Оскільки для всіх, які є рішенням даної нерівності, права частина більше лівої, то) 0.

Отже, обидві частини нерівності невід’ємні (для тих, які є рішеннями нерівності, інші нас не цікавлять). Значить, зведення в квадрат чи не порушує равносильности і можна записати рівносильну нашому нерівності систему нерівностей:) 0. Нехай для якихось) рішення, так як при цих

ОДЗ) і неотрицательна, в той час як права частина) Значить, дане нерівність рівносильне сукупності нерівностей: Зауважимо, що в останню систему не входить вимога) 0. Воно й не потрібно, так як виконується автоматично бо повний квадрат завжди неотрицателен. Обидві частини нерівності невід’ємні в ОДЗ, і тому можна зводити в квадрат. Отримаємо рівносильну систему Зауважимо, що з нерівності випливає, що тобто додатково це вимагати і включати це нерівність в систему не потрібно.

Відзначимо корисне слідство. Припустимо, що ОПЗ нерівності вже знайдено, і ми будемо відбирати рішення тільки з ОДЗ (це розумно, оскільки поза ОДЗ рішень немає). Тоді вихідна нерівність рівносильне наступному: а та система, якою це нерівність рівносильно, може бути представлена (для Отже, в ОДЗ

Ясно, що ті ж міркування застосовні і для знака нерівності. Звідси можна зробити корисне висновок: Припустимо, що функції) не мають спільних коренів.

Розглянемо допоміжне нерівність 1. Якщо) 2. Якщо) 0, то вираз може мати будь-який знак, але вираз завжди строго позитивно.

Множачи обидві частини нерівності (*) на строго позитивне число не змінюючи знака нерівності, перейдемо до равносильному нерівності Таким чином, в ОДЗ

Значить, при) 0, знак різниці в ОДЗ. Отримуємо наступні умови равносильности.

Запам’ятовувати наведені системи нерівностей не потрібно, важливо розуміти, як вони виходять.

Як вирішувати нерівності?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Комментарии закрыты